Ираны геометрийн 12-р олимпиад, 2025 он, E (9-10) ангилал

1. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

  1. $\small\triangle APY\sim \small\triangle YPQ$ эсвэл $\small\triangle BXQ\sim \small\triangle XPQ$ гэж баталбал 3 оноо.

  2. $\cfrac{AY}{BX}=\cfrac{PY}{QX}\cdot\cfrac{QY}{PX}$ гэж баталбал 2 оноо.

  3. Баталж дуусгавал 3 оноо.

2. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

  1. $\angle BEF=\angle CDE$ байхыг харуулсан бол 2 оноо. Хэрэв зурган дээр тэмдэглэсэн бол О оноо,

  2. $\angle BEF=\angle AFG$ байхыг харуулсан бол 1 оноо. Хэрэв зурган дээр тэмдэглэсэн бол О оноо,

  3. $\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{3}{4}$ гэж харуулбал 2 оноо,

  4. $CB$ цацраг дээр $BT=BF$ байх $T$ цэг авсан бол 1 оноо,

  5. $\triangle TEF=\triangle AFG$ гэж харуулаад баталгааг гүйцээсэн бол 2 оноо.

3. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.


  1. $C$ цэгийн $\omega$-ын $T$ цэг дээрх шүргэгч шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэг болох $C'$-ийг авч үзсэн бол 1 оноо,

  2. $\angle CTC'=\angle A$ гэж харуулбал 2 оноо,

  3. $PACC'$ тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо,

  4. $A$ цэгийн $\omega$-ын $T$ цэг дээрх шүргэгч шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгийг $A'$ гэе. $A'$ цэг $PAC$-г багтаасан тойрог дээр оршино гэж харуулаад баталгааг гүйцээсэн бол 3 оноо.

4.

  1. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $BC$, $AD$ талын дунджыг $M$, $N$ гэвэл $\frac{1}{2}(AB+CD)\geq MN$ гэж баталбал 1 оноо,

5. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.


  1. $FM\cap EN=Q$ цэгийг $ABC$ гурвалжны $A$-медиан дээр оршино гэж харуулбал 1 оноо,