Ираны геометрийн 12-р олимпиад, 2025 он, D (7-8) ангилал

1. Бодлого 1

  1. Ромбын өнцгүүдийг тооцож олбол 3 оноо.

  2. Тэмдэглэсэн жижиг өнцгийг олбол 3 оноо.

  3. Тэмдэглэсэн жижиг өнцгийг олбол 2 оноо.

2. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

  1. $BO_1P$, $CO_2P$ гурвалжнууд адил хажуут гэдгийг дурдвал 2 оноо,

  2. $\angle BPC=180^\circ-\angle BO_1P-\angle CO_2P$ гэж баталбал 2 оноо,

  3. $\angle BPC=180^\circ-(60^\circ-\angle BO_1P)-(60^\circ-\angle CO_2P)$ гэж баталбал 2 оноо,

3. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

  1. 1-р тохиолдол буюу эхний нугаралтын хэрчим нэг катет, гипотенүзийг дайрдаг тохиолдолд, уг хэрчим анхны гурвалжны гипотенүз дээр буусан өндрийг дайрахгүй гэж харуулбал 2 оноо,

  2. 1-р тохиолдолоо цааш нь өндрийн дагуу болон дундаж шугамын дагуу нугалан гурвалжин үүсгэнэ гэж харуулсан бол 2 оноо,


  3. 2-р тохиолдол буюу эхний нугаралтын хэрчим хоёр катетыг дайрдаг тохиолдолд, уг хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүд катетуудын дундаж цэгүүдээс тэгш өнцгийн оройн хооронд оршино гэж харуулбал 2 оноо,


  4. 2-р тохиолдолоо цааш нь өндрийн дагуу болон дундаж шугамын дагуу нугалан гурвалжин үүсгэнэ гэж харуулсан бол 2 оноо,


4. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

  1. Эсрэгээс үзэж, $A,C$ цэгүүд дээр төвтэй $\cfrac{AC}{\sqrt{3}}$ радиустай тойргуудын огтлолцол дотор $B,C$ оршино гэж харуулбал 2 оноо.

  2. $\angle BAD,\angle BCD<60^{\circ}$ гэж баталбал 3 оноо.

  3. $ABD,ADB,CBD,CDB$ өнцгүүдийн нэг нь гэж батлаад зөрчилд хүргэвэл 3 оноо.

5.

  1. $\angle DAC=30^\circ$ гэж харуулбал 2 оноо,

  2. $ACD$, $XCY$ гурвалжнууд тэнцүү гэж харуулбал 2 оноо,

  3. $ABX$ гурвалжныг адил хажуут гэж харуулбал 2 оноо,

  4. $ABC$, $XAZ$ гурвалжнууд тэнцүү гэж харуулбал 2 оноо,