ММО-62, I даваа, F (11-12) ангилал
1.
$62m^{2} + 1$ тоо бүхэл тооны квадрат болдог хамгийн бага натурал $m$ тоог ол.
Хариу: 8
2.
$(-1, -1)$, $(13, 0)$, $(0, 11)$ цэгүүд дээр оройтой гурвалжны дотоод хэсэгт орших бүхэл координаттай цэгүүдийн тоог ол.
Хариу: 83
3.
$x$, $y$ натурал тоонуудын хувьд $x+y = 338$ ба $\sqrt{x}+\sqrt{y} = 24$ байдаг бол $\sqrt{(x+72)(y+72)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
Хариу: 209
4.
$8\sqrt{3}$ радиустай тойрогг хоорондоо $60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг хөвч ба диаметр өгөгдөв. Диаметр нь хөвчийг $1 : 2$ харьцаатай хуваадаг бол хөвчийн уртыг ол.
Хариу: 24
5.
$2^{m}3^{n}$ тоо $\binom{2025}{1012}$ сэлгэмлийг хуваадаг бол $m+n$ нийлбэрийн хамгийн их утгыг ол.
Хариу: 11
6.
$2n(n+11)$ илэрхийлэл ямар нэг натурал тооны факториал болдог байх хамгийн их хоёр оронтой натурал $n$ тоог ол.
Хариу: 45
7.
$ABCD$ параллелграмын $\angle A=78^\circ$ байдаг. $AB$ тал дээр $CM=CD$ байх $M$ цэгийг, $BC$ тал дээр $CN=MN$ байх $N$ цэгийг авав. Хэрэв $C$, $D$, $M$, $N$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршдог бол $\angle CDM$ өнцөг хэдэн градус байх вэ?
Хариу: 68
8.
$a$, $b$ бүхэл тоонууд ба $P(x)$ бүхэл коэффициенттой олон гишүүнтийн хувьд $x^{2026} + 10x^{62} + ax + b = (x^{2}+x+1)P(x)$ байдаг бол $P(1)$ утгыг ол.
Хариу: 10
9.
$10000002^{7}$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг ол.
Хариу: 81
10.
$a+b+c+d = 4$ нийлбэртэй $a$, $b$, $c$, $d \ge 0$ сөрөг биш тоонуудын хувьд
\begin{equation}
(3a+1)(3b+1)(3c+1)(3d+1) = 131abcd+125
\end{equation}
байдаг бол $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ илэрхийллийн авч болох хамгийн их утгыг ол.
\begin{equation}
(3a+1)(3b+1)(3c+1)(3d+1) = 131abcd+125
\end{equation}
байдаг бол $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ илэрхийллийн авч болох хамгийн их утгыг ол.
Хариу: 16
11.
$12$-оос хэтрэхгүй натурал тоонууд дотроос $32$-оос хэтрэхгүй нийлбэртэй ялгаатай таван тооноос тогтох олонлогийг хэдэн янзаар сонгож болох вэ?
Хариу: 396
12.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$, радиус $45$ байв. $A$ оройн биссектрисийн суурийг $D$ гэе. $ADC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $36$ бол $IDC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Хариу: 20
Бодолт 1.
\[S_{DIC}=\frac{DC\cdot r_{ABC}}{2}=\frac{(ID+DC)\cdot r_{ADC}}{2}=\frac{(ID+DC+CI)\cdot r_{IDC}}{2}\] болох ба эндээс $r_{IDC}=r$ гэвэл
\[S_{DIC}=\frac{DC\cdot 35}{2}=\frac{(ID+DC)\cdot 26}{2}=\frac{(ID+DC+CI)\cdot r}{2}\] болно эхний хоёроос
\[\frac{ID+DC}{DC}=\frac{45}{36} \Longrightarrow \frac{ID}{DC}=\frac{1}{4}\]
$\angle ICD=\alpha$, $\angle CID= \beta$, $\angle IDC=\gamma$ гэвэл косинусын теоремоор
\[IC=\sqrt{DI^2+DC^2-2DI\cdot DC\cos{\gamma}}\]
болох тул сүүлийн хоёроос
\[r=\frac{36(ID+DC)}{ID+DC+\sqrt{DI^2+DC^2-2\cos{\gamma}DI\cdot DC}}=\frac{180}{5+\sqrt{17-8\cos{\gamma}}}\]
болно $-1 < \cos{\gamma} < 1$ тул $18 < r < 22.5$ байна.
Нөгөө талаас $ABC$ гурвалжин оршин байх $\iff $ $90^\circ > \beta > \alpha $. $DC>ID$ тул $\beta > \alpha$ ямагт үнэн тул $90^\circ > \beta$ буюу $IC^2+ID^2 > DC^2$ байхад хангалттай гэдгээс $ID = x$ гэвэл
\[x^2 + 17x^2 - 8x^2\cos{\gamma} > 16x^2 \iff \frac{1}{4} > \cos{\gamma }\] болох ёстой ба
$r=20;19$ үед $\cos{\gamma} < 0.25$ болох ба $r=22,21$ үед $\cos{\gamma} > 0.25$ тул $19$, $20$ шийд болох ба нөхцөл хангах гурвалжин олдоно.