1. Учрал хэсэг найзуудын хамт дэлгүүрээс хэдэн ном ба хэдэн дэвтэр худалдан авчээ. Нэг ширхэг ном нэг ширхэг дэвтрээс $A$ дахин илүү үнэтэй. Учрал болон түүний найзууд шударга хуваарилах үүднээс худалдан авсан ном, дэвтрүүдээ мөнгөн дүнгээр тэнцүү байхаар хуваан авахаар шийдэв. Учрал бүх номын $\frac{1}{10}$ ба бүх дэвтрийн $\frac{1}{15}$-ийг авсан байв. Тэрээр өөрт оногдсон ном болон дэвтрүүдээ тоолоход өөрт нь оногдсон дэвтрийн тоо номын тооноос $6$ дахин их болохыг анзаарав. $A$-ийн авч болох бүх утгыг ол.

2. Олимпиадын хороо $5$ хүнтэйгээр $20$ удаа хуралдав. Хоёр хуралд хоёулаа суусан хоёр хүн байхгүй бол олимпиадын хороо хамгийн цөөндөө хэдэн гишүүнтэй байж болох вэ?

3. Анхны тоон хуваагч бүрийхээ квадратад хуваагддаг зохиомол тоог сайн тоо гэе. Ялгаатай сайн тоонуудын нийлбэрт тавигддаггүй хамгийн их натурал тоог ол. Энд нийлбэр нэг гишүүнтэй байж болно. Жишээ нь $1$, $3$, $12$ тоонууд сайн тоо биш бөгөөд $9$ ба $108$ сайн тоо мөн.

4. $1 \le x$, $y \le 45$ бөгөөд $\dfrac{x^3+ 1}{xy+1}$ харьцаа бүхэл байдаг бүх натурал тоон $(x, y)$ хосын тоог ол.

5. $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$ тоонууд иррационал байдгийг саная.

1. $s$, $t$, $r$ бүхэл тоонуудын хувьд $s+\sqrt{2}t+\sqrt{3}r=0$ бол $s=t=r=0$ гэж батал.
   


2. $a$, $b$, $c$, $d$ бүхэл тоонуудын хувьд $\dfrac{a+\sqrt2b+\sqrt3c}{b+\sqrt2c+\sqrt3d}$ харьцаа рационал тоо байдаг бол $ad=bc$ гэж батал.
   

6. $ABC$ гурвалжны $BE$, $CF$ биссектрисүүд $I$ цэгт огтлолцоно. Энд $F$ цэг $AB$ тал дээр, $E$ цэг $AC$ тал дээр оршино. $\angle A = 60^\circ$ бол $S_{BCF} + S_{BCE} = 3S_{BIC}$ гэж батал. Энд $XYZ$ гурвалжны талбайг $S_{XYZ}$ гэж тэмдэглэв.