1. Тэгээс ялгаатай $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд $\sqrt[3]{abc}(a + b + c) = ab + bc + ca$ байдаг бол эдгээр тоонуудыг ямар нэгэн дарааллаар бичихэд геометр прогресс үүснэ гэж батал.

2. $\omega$ тойрогт хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжин багтжээ. $\omega$ тойргийн $AB$ жижиг нумын дунджийг $M$ гэе. $\omega$ тойргийн $B$ цэгт татсан шүргэгч шулуун, $AC$ шулуунтай $P$ цэгт огтлолцоно. $PM$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $G$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойргийн $G$ цэг дээрх шүргэгч шулуун $BC$ шулуунтай $Q$ цэгт огтлолцоно. $AB$, $CG$ шулуунууд $K$ цэгт огтлолцох ба $P$, $Q$, $K$, $C$ цэгүүд нэг тойрог дээр орших бол $KQ$, $GB$ шулуунууд параллел гэж батал.

3. $2n \times 2n$ хүснэгтийн $(i, j)$ нүдэнд $2n(i-1)+j$ тоог бичжээ. Бат мөр ба багана бүрээс яг $n$ ширхэг нүд сонгогдсон байхаар $2n^2$ ширхэг нүдийг сонгов. Сонгогдсон нүднүүд дэх тоонуудын нийлбэр нь сонгогдоогүй нүднүүд дэх тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байна гэж батал.

4. $2\times 64$ хүснэгтийн хоёр нүдийг будав. Аль хоёр нүдийг будахад, ядаж нэг будагдсан нүд агуулсан дэд хүснэгтийн тоо хамгийн их байх вэ?
Энд дэд хүснэгт гэж хүснэгтийн зангилааны цэгүүд дээр оройтой, хүснэгтийн талуудтай параллел талуудтай тэгш өнцөгтийг хэлнэ.

5. $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$, $\{c_{n}\}$ бүхэл тоон дарааллуудыг $a_{1} = 3$, $b_{1} = c _{1} = 1$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_{n+1} &= 3a_{n} + b_{n}\\
b_{n+1} &= a_{n} + b_{n}\\
c_{n+1} &= b_{n} + c_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
гэж тодорхойлъё. $N \ge 3$ сондгой тоо гэе.

1. $a_{n}-1$, $b_{n}$, $c_{n}-1$ тоонууд бүгд $N$-д хуваагддаг байх $n$ дугаар олдоно гэж батал.
   


2. $a_{m}-1$, $b_{m}-1$, $c_{m}-1$ тоонууд бүгд $N$-д хуваагддаг байх $m$ дугаар олдохгүй гэж батал.
   

6. Эерэг бодит тоон олонлогийг $\mathbb R^{+} =\{x \in \mathbb R \mid x > 0\}$ гэж тэмдэглэе.

Дурын $x$, $y \in \mathbb R^{+}$ тоонуудын хувьд $f(xf(x)+y) = x^{2} + f(y)$ байдаг бүх $f\colon \mathbb R^{+} \to \mathbb R^{+}$ функцийг ол.