1. $A$, $B$ эерэг тоонуудын хувьд $\star$ үйлдлийг $A\star B=\dfrac{A}{AB+1}$ гэж тодорхойлъё.

1. $(A\star B) \star C= A\star (B+C)$ гэж батал.
   


2. $\left(\left(\left( \cdots \left(\left( \left(1\star 2\right) \star 3\right)\star 4\right) \cdots \right)\star 59\right) \star 60\right) \star 61$ илэрхийллийн утгыг ол.
   

2. $a$, $b$ гэж эхлээд өмнөх хоёр үгийг нь залгаж бичих замаар байгуулсан $a$, $b$, $ab$, $bab$, $abbab$, $bababbab$, \dots\ үгсийн дарааллын $3$-р гишүүнээс хойших аль ч гишүүний хамгийн урд талын хоёр үсгийг дарахад палиндром үг үүснэ гэж батал. Энд ард, урдаасаа яг ижил уншигддаг үгийг палиндром үг гэж нэрлэдэг. Жишээ нь $ababa$ палиндром, $abab$ палиндром биш.

3. $a! \cdot (a+1)! = b!$ байдаг бүх натурал тоон $(a, b)$ хосыг ол.

4. $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma = 1$ нөхцөл биелдэг $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ өнцгүүдтэй хурц өнцөгт гурвалжны хувьд
\begin{equation}
\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \dfrac{\cos \beta}{\sin \beta} + \dfrac{\cos \gamma}{\sin \gamma}\ge 2
\end{equation}
болохыг баталж, тэнцэлдээ хүрэх нөхцөлийг ол.

5. $C$ оройн өнцөг нь мохоо байдаг, тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $BCDH$ параллелограмм байх $H$ цэгийг авав. $AH$ шулуун $CD$ шулуунтай $M$ цэгт, $BC$ шулуунтай $N$ цэгт огтлолцоно. $H$ цэгийг дайрсан $AC$ шулуунтай параллел шулуун, $CD$ шулуунтай $K$ цэгт, $BC$ шулуунтай $L$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $K$, $L$, $M$, $N$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршиж байвал $\angle ABC=90^\circ$ байна гэж батал.

6. $P(X) = X^{8} + 61X + 2025$ олон гишүүнтийг бүхэл коэффициенттой хоёр тогтмол биш олон гишүүнтийн үржвэрт тавьж болохгүй гэж батал.