ММО-60, III даваа, Т ангилал, T (ДБ) ангилал
1.
$n \ge m \ge 1$ байх натурал тоонуудын хувьд
\begin{equation}
(a^{n} - b^{n})^{2} = a^{n+m}-b^{n+m}
\end{equation}
тэгшитгэл $|a| > |b| > 1$ байх $(a, b)$ харилцан анхны бүхэл тоон шийдгүй болохыг харуул.
\begin{equation}
(a^{n} - b^{n})^{2} = a^{n+m}-b^{n+m}
\end{equation}
тэгшитгэл $|a| > |b| > 1$ байх $(a, b)$ харилцан анхны бүхэл тоон шийдгүй болохыг харуул.
2.
$AB \ne AC$ байх $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $\omega$ гээд $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $\omega$ тойргийн $B$ болон $C$ цэгт татсан шүргэгч шулуунууд $T$ цэгт огтлолцоно. $AMT$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BC$ шулуунтай дахин $N$ цэгт огтлолцоно. $NT$ хэрчмийн дундаж цэг $S$ бол $SA$ шулуун $\omega$ тойргийн шүргэгч болно гэж батал.
3.
Эерэг бодит тоон олонлогийг $\mathbb R^{+} = \{x \in \mathbb R \mid x > 0\}$ гэж тэмдэглэе. Дурын $x \in \mathbb R^{+}$ тооны хувьд
\begin{equation}
f(g(x)) = f(x)g(x)\quad \text{ба}\quad
f(x) =x (1+ g(x))
\end{equation}
байдаг бөгөөд $g(x)$, $g(g(x))$, $g(g(g(x))), \dots$ дараалал төгсгөлөг ширхэг ялгаатай утга авдаг байх бүх $f$, $g \colon \mathbb R^{+} \to \mathbb R^{+}$ хос функцийг ол.
\begin{equation}
f(g(x)) = f(x)g(x)\quad \text{ба}\quad
f(x) =x (1+ g(x))
\end{equation}
байдаг бөгөөд $g(x)$, $g(g(x))$, $g(g(g(x))), \dots$ дараалал төгсгөлөг ширхэг ялгаатай утга авдаг байх бүх $f$, $g \colon \mathbb R^{+} \to \mathbb R^{+}$ хос функцийг ол.
4.
Гурвалжны $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ өнцгүүдийн хувьд
\begin{equation}
\cos(\alpha) \cos (3\alpha) + \cos(\beta) \cos (3\beta) + \cos(\gamma) \cos (3\gamma) + \dfrac{7}{4} \ge 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma)
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
\cos(\alpha) \cos (3\alpha) + \cos(\beta) \cos (3\beta) + \cos(\gamma) \cos (3\gamma) + \dfrac{7}{4} \ge 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma)
\end{equation}
байна гэж батал.
5.
$m$, $n$ натурал тоонууд байг. $m \times n$ хэмжээтэй тэгш өнцөгт хүснэгт өгөгдөв. Тэгш өнцөгтийн аль нэг талтай параллел хэрчмийг сайн гэе. Хүснэгтийг зангилааны цэгүүд дээр оройтой гурвалжнуудад хуваав. Эдгээр бүх гурвалжнуудын ядаж нэг тал сайн байсан ба аль ч сайн талд буулгасан өндөр нэгж урттай байв. Яг хоёр сайн талтай гурвалжин хамгийн цөөндөө хэд байх вэ?
6.
Дурын $n$, $m \ge 1$ дугааруудын хувьд $na_{n}-ma_{m} + 2a_{m} - 1$ илэрхийлэл $a_{n} + a_{m} - 1$ тоонд хуваагддаг байх бүх натурал тоон $a_{1}$, $a_{2} \dots$ дарааллыг ол.