1. $a! + b! = c^{4} + 2024$ тэгшитгэл $a \le b$ байх $(a, b, c)$ натурал тоон цор ганц шийдтэй болохыг баталж шийдийг ол.

2. Гүдгэр таван өнцөгтийн гурван орой дээр оройтой гурвалжны талбай өгсөн таван өнцөгтийн талбайн хагасаас их бол уг гурвалжныг том гэе. Гүдгэр таван өнцөгтөд том гурвалжин хамгийн олондоо хэд байж болох вэ?

3. Эерэг бодит тоон олонлогийг $\mathbb R^{+} = \{x \in \mathbb R \mid x > 0\}$ гэж тэмдэглэе. Дурын $x$, $y \in \mathbb R^{+}$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
f(x) f(y + f(x)) = f(1+xy)
\end{equation}
байдаг бүх $f \colon \mathbb R^{+} \to \mathbb R^{+}$ функцийг ол.

4. Сөрөг биш коэффициенттой $P(x)$ ба $Q(x)$ олон гишүүнтүүд өгөгдөв.

$P(x)$-ийн уламжлалыг $P'(x)$ гэе. $P(0) = Q(0)= 0$ ба $Q(1) \le 1 \le P'(0)$ байв.

1. Дурын $0 \le x \le 1$ тооны хувьд $0 \le Q(x) \le x \le P(x)$ байна гэж батал.
   


2. Дурын $0 \le x \le 1$ тооны хувьд $P(Q(x)) \le Q(P(x))$ байна гэж батал.
   

Тэнцэл биелэх нөхцөлийг олох шаардлагагүй.

5. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $BE$ ба $CF$ өндрүүд татав. $AD$ хэрчим $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн диаметр болно. $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $BMF$ ба $CME$ гурвалжинд багтсан тойргуудын дотоод ерөнхий шүргэгчүүд $K$ цэгт огтлолцдог байв. $K$, $M$, $D$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

6. $n \ge 1$ гишүүнтэй натурал тоон $A = \{a_{1}, \dots, a_{n}\}$ олонлогийг авч үзье. Дурын ялгаатай $X \ne Y \subseteq A$ дэд олонлогуудын хувьд $S(X) - S(Y)$ ялгавар $2^{n}$ тоонд хуваагддаггүй бол $A$ олонлогийг сайн гэе. Энд $X \subseteq A$ дэд олонлогийн гишүүдийн нийлбэрийг $S(X) = \sum\limits_{a \in X} a$ гэж тэмдэглэх ба $S(\emptyset) = 0$ гэж тодорхойлно.

Бүх гишүүн нь $2^{n}$ тооноос бага байдаг сайн олонлогийн тоог ол.