1. Тэгээс ялгаатай $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын хувьд $\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{b+c}{a} = \dfrac{c+a}{b}$ байв.

1. $a^3+b^3+c^3 \ne 0$ болохыг батал.
   


2. $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^3+b^3+c^3}$ илэрхийллийн авч болох бүх утгыг ол.
   

2. Самбарт бичигдсэн үгэн дээр дараах 3 төрлийн үйлдлийн аль нэгийг хийж болно. $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, $c$ нь үсгүүд болог.

1. Аливаа $xy$ дэд үгийг $xzzy$ болгон өөрчилж болно. Жишээ нь ${ab}c \to {addb}c$ болно.
   


2. Аливаа $xyz$ дэд үгийг $zyx$ болгон өөрчилж болно. Жишээ нь $c{abc} \to c{cba}$ болно.
   


3. Аливаа $xyyx$ хэлбэрийн дэд үгийг арилгаж болно. Жишээ нь $ab{caac}c\to abc$ болно.
   

Дээрх үйлдлүүдийн тусламжтайгаар $abccab$ үгээс $baccba$ үгийг гарган авч болох уу?

Тайлбар: $xyz$ үгийн хувьд $x$, $y$, $z$, $xy$, $yz$, $xyz$ дэд үг болно, харин $xz$ дэд үг биш.

3. $m \ge 2$ натурал тоо, $p \ge 5$ анхны тоо гэе. $n \ge 1$ хувьд $a_{n} = (p-2)^{n} + p^{n} - m$ гэж тодорхойлогдох $a_{1}$, $a_{2}, \dots$ дарааллын ямар нэг гишүүнийг хуваадаг хамгийн бага анхны тоог $q$ гэе. $q \ge m$ байх бүх $(m, p)$ хосыг ол.

4. $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} + 2^{d}= 60 \cdot \min\{a, b, c, d\}$ тэгшитгэлийн бүх натурал тоон шийдийг ол. Энд $a$, $b$, $c$, $d$ тоонуудын хамгийн багыг $\min \{a, b, c, d\}$ гэж тэмдэглэв.

5. $AB=BC$ байх адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $BM$ хэрчмийн дундаж цэгийг $N$ гээд $AMN$ гурвалжны $AN$ талд буулгасан өндрийн суурийг $P$ гэе. $APM$ ба $CPB$ гурвалжнууд төсөөтэй гэж батал.

6. $a$, $b$, $c \ge 0$ сөрөг биш тоонуудын хувьд $a^{3}+b^{3}+c^{3} = abc + 2$ бол
\begin{equation}
a^{4}+b^{4}+c^{4} \ge a + b + c
\end{equation}
байна гэж батал.