1. Усан сангийн ус тогтмол хурдаар ууршдаг ба уг усан санд 3 цоргоор ус нэмдэг. Хэрэв ууршилт байхгүй гэвэл уг 3 цоргоор хоосон усан санг 2 долоо хоногт дүүргэнэ. Хоосон усан санг зөвхөн 1 ба 2 дугаар цоргыг нээн 6 долоо хоногт дүүргэжээ. Үүний дараа зөвхөн 3 дугаар цоргыг нээж орхиход 5 долоо хоногийн дараа усан сангийн усны $\dfrac13$ хэсэг ууршсан байв. Дүүрэн устай усан сангийн бүх цоргыг хаавал түүний ус хэдэн долоо хоногт ууршиж дуусах вэ?

2. Баатар тэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгүүдийг төмөр утсаар хийж загвар бүтээжээ. Түүнд хоёр цэгийн хоорондын зайг хэмжихээс гадна, тахир шугамын дагуу урт хэмжиж чаддаг уян утсан метр (дээрээ хэмжээс бүхий) байсан бөгөөд түүнийгээ ашиглан хийсэн параллелепепидийнхээ бүтэн гадаргуугийн талбайг хоёрхон удаагийн хэмжилтээр олж чадна гэж сайрхжээ. Тэр үнэн хэлсэн үү?

3. Зөв $360$ өнцөгтийн оройнуудыг цагийн зүүний дагуу дэс дараалан $1$, $2$, \dots, $360$ тоонуудаар дугаарлав. $1$-р тооноос эхлэн цагийн зүүний дагуу тоолон $359$ дахь тоог дарна, үүний дараа дарсан тооны дараагийн тооноос эхлэн үргэлжлүүлэн тоолж $358$ дахь тоог дарна, үүний дараа дарсан тооны дараагийн тооноос эхлэн үргэлжлүүлэн тоолж $357$ дахь тоог дарна гэх мэтчилэн нэг тоо үлдтэл үйлдлийг гүйцэтгэв. Хамгийн сүүлд ямар тоо үлдэх вэ? (дарагдсан тоог дахин тоолохгүй)

4. $A$ тооны цифрүүдийн нийлбэр $60$, харин $B$ тооны цифрүүдийн нийлбэр $2024$ бол $A+B$ тооны цифрүүдийн нийлбэр хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?

5. $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын нийлбэр $a + b + c = 3$ бол
\begin{equation}
\dfrac{a^{2} + b^{2}+ c^{2}}{2} + \dfrac{1}{a^{2}+1} + \dfrac{1}{b^{2}+1} + \dfrac{1}{c^{2}+1} \ge 3
\end{equation}
гэж батал.

6. $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд $\angle ACB=90\degree$ ба $\angle BAC=36\degree$ байв. $AL$ биссектрис дээр $M$ цэгийг $AM=MB$ байхаар тэмдэглэв. $AM=2CL$ гэж батал.