1. Хавтгайд 50 ширхэг ялгаатай цэг өгөгджээ. Тэдгээр цэгүүдээс бүх боломжит 2 цэгийг дайрсан шулуунууд татав. Нийт 1200 ширхэг ялгаатай шулуун үүсчээ. Тэгвэл эдгээр 50 цэгээс ядаж 4 цэгийг нь агуулдаг шулуун оршин байна гэж батал.

2. $AB=AC$ байх адил хажуут гурвалжны $BC$ тал дээр $X$ цэг авав. $AB$ тал дээр $Y$ цэгийг

3. $b$ сондгой, $a>2$ байх $a$, $b$ харилцан анхны тоонууд өгөгдөв. \\$x_0=2$, $x_1=a$ ба $n\geq 1$ үед $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}$ гэж тодорхойлогдох дараалал өгөгдөв.

1. Хэрэв $a$ тэгш тоо бол $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ нь эерэг бүхэл тоо байх $m$, $n$, $p$ эерэг бүхэл тоонууд олдохгүй гэж батал.
   


2. Хэрэв $a$ сондгой бол $mnp$ нь тэгш ба $\dfrac{x_m}{x_nx_p}$ нь бүхэл тооны квадрат байх $m$, $n$, $p$ эерэг бүхэл тоонууд олдохгүй гэж батал.

4. $n>1$ үед $n=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$ ба $p_i$ анхны тоо үед
\[C(n)=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{\alpha_i-1}(p_i-2)\] байг. Хэрэв $C(n)\mid \varphi(n)-1$ бол $n$ сондгой анхны тоо байна эсвэл $n$ тоо ядаж 7 ялгаатай анхны тоон хуваагчтай гэж батал. ($\varphi(n)$-ээр $n$-ээс бага $n$-тэй харилцан анхны тоонуудын тоог тэмдэглэв.)

5. Нэгж талтай кубын нэг ерөнхий оройтой 3 талс нь цэнхэр өнгөтэй, үлдсэн 3 талсын 2 нь шар, 1 нь ногооноор будагдсан бол түүнийг \textit{тоосго} гэж нэрлэе.
Ямар ч 2 тоосгийг ижилхэн ногоон өнгөтэй талсаар нь эсвэл нэг тоосгоны цэнхэр талсыг нөгөө тоосгоны шар талстай нааж болдог байв. $n^3$ ширхэг тоосгыг хооронд нь наах байдлаар $n$ урттай куб хийв. $n$ тооны хамгийн их утгыг ол.

6. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$ талыг $D$ цэгт, $CA$ талыг $E$ цэгт $AB$ талыг $F$ цэгт шүргэнэ. $DE$ хэрчмийн дундаж цэгийг $M$, $DF$ хэрчмийн дундаж цэгийг $N$ гэе. $BDM$ болон $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргууд $B$, $P$ гэсэн ялгаатай цэгүүдэд огтлолцоно. $CDN$ болон $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргууд $C$, $Q$ гэсэн ялгаатай цэгүүдэд огтлолцоно.
$P$, $Q$, $M$, $N$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.