1. $x^2+(1-y)^2+(x-y)^2=\dfrac13$ бол $3x+21y$ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу: 15

2. $\frac{48}{\pi}(\arctg\frac43+\arctg2-\arctg3)$ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу: 12

3. $x^3-3x^2-9x+m=0$ тэгшитгэл гурван бодит шийдтэй байх $m$ параметрийн хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын нийлбэрийг ол.

Хариу: 22

4. Хэрэв эргүүлэлт болон тэгш хэмээр давхцах будалтыг ижил гэж үзвэл квадратын оройнуудыг 4 өнгөөр хэдэн янзаар будаж болох вэ?

Хариу: 55

5. $1,2,3,\ldots,4n$ тоонуудыг тус бүр $4$ тоо бүхий $n$ хэсэгт хуваасан бөгөөд хэсэг бүрийн аль нэг тоо нь бусад гурван тооныхоо арифметик дундажтай тэнцүү байв. Ийм чанартай, $2023$-аас ихгүй хамгийн их натурал тоо $n$-ийг ол.

Хариу: 2022

6. Аль ч хоёр дараалсан цифр нь ялгаатай, эхний ба сүүлийн цифр нь хоорондоо тэнцүү, 6~оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ?

Хариу: 53136

7. Хэрвээ $x^4-x^3-ax^2+bx-6$ олон гишүүнт $(x-1)^2$-д хуваагддаг бол $a+2b$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 33

8. $2023^{2023}-2023$ тооны анхны тоон каноник задаргаа $2^a3^bp_3^{\alpha_3}\ldots p_s^{\alpha_s}$ бол $a+b$ тоог ол.

Хариу: 6

9. $\{a_n\}$ дараалал $a_1=8$ ба $a_{n+1}=8^{a_{n}}$, $n\ge 1$ гэж тодорхойлогдов. $a_{2023}$ тоог $2023$-д хуваахад гарах үлдэгдэл хэдтэй тэнцүү вэ?

Хариу: 1072

10. $ABCD$ трапецийн бага суурь $BC=2$, хажуу талууд $AB=4$, $CD=5$ урттай байв. $\angle ADC$ өнцгийн биссектрис $AB$ талтай $E$ цэгт огтлолцох ба $BE:EA=3:5$ байв. $ABCD$ трапецийн талбайг ол.

Хариу: 14

11. $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэгийг $H$ гэе. $H$ цэгийг дайрсан шулуун $AB$ талтай $D$ цэгт, $AC$ талтай $E$ цэгт огтлолцдог ба $BDEC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байв. Хэрэв $\angle DHB=2\angle CHE$ ба $\angle C=71^\circ$ байсан бол $\angle A$ өнцгийг ол.

Хариу: 57

12. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийг шүргэх $BC$ шулуунтай параллел ($BC$-ээс ялгаатай) шулуун $AB$ талтай $K$ цэгт, $AC$ талтай $L$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $BC=12$, $KL=4$ бол $ABC$ гурвалжны периметрийг ол.

Хариу: 36