1. $\log_4(x+2y)+\log_4(x-2y)=1$ бол $(x-y)^2$-ын авч болох хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 3

2. Ямар нэг $m$ натурал тооны хувьд
$$\left(m+\dfrac{1}{2023}\right)^2 < N < \left(m+\dfrac{1}{2022}\right)^2$$
тэнцэтгэл биш биелдэг байх хамгийн бага бүхэл тоо $N$-ийг ол.

Хариу: 1022122

3. $f(n)=\left\{\begin{array}{cl}
n-2, & n > 2200\\
f(f(n+5)), & n\le 2200
\end{array}\right.$ гэж тодорхойлогдсон $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ функц өгөгдөв. $f(2023)=?$

Хариу: 2201

4. УЛААНБААТАР гэдэг үгэнд орсон үсгүүдийг бүх боломжит хувилбараар сэлгэхэд үүсэх 11 үсэгтэй үгүүдийг цагаан толгойн дарааллаар жагсааж бичив. Аль ч хоёр А үсэг зэрэгцэж ороогүй хамгийн эхний үгийн дугаарыг ол.

Хариу: 63487

5. $A\cup B\cup C=\{1,2,\dots,8\}$ ба $A\cap B\cap C=\varnothing$ байх $(A,B,C)$ гуравтын тоог ол.

Хариу: 1679616

6. Зөв зургаан өнцөгтийн эсрэг оройнуудыг диагоналуудаар нь холбож зургаан зөв гурвалжинд хуваажээ. Гурвалжин бүрийг улаан, ногоон, хөх өнгийн аль нэгээр, аль ч хөрш хоёр гурвалжин ялгаатай өнгөтэй байхаар хэчнээн аргаар будаж болох вэ?

Хариу: 66

7. Ямар нэг $a$, $b$ натурал тоонуудын хувьд $n=a^2+2b^2$ хэлбэрт бичигддэг ба $2023\le n$ байх хамгийн бага $n$ тоог ол.

Хариу: 2025

8. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}$ тэгшитгэлийн бүхэл шийдийн тоог ол.

Хариу: 41

9. $a_1=2$, $a_{n+1}=2^{a_n}$ дараалал өгөгдөв. $a_{60}$-ийг 2023-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

Хариу: 1514

10. $ABCD$ квадратын дотор орших $P$ цэгээс $A$, $B$, $C$ орой хүртлэх зай харгалзан $5$, $2\sqrt2$, $3$ бол квадратын талбайг ол.

Хариу: 29

11. $O$ цэгт дотоод байдлаар шүргэлцдэг хоёр тойргийн их радиустай тойрог нь $l$ шулуунтай $A$, $B$ цэгүүдэд огтлолцоно. Мөн $l$ шулуун бага радиустай тойрогтой $C$, $D$ цэгүүдэд огтлолцох ба $C$ цэг $A$ болон $D$ цэгүүдийн хооронд байрлаж байв. Хэрэв $AC=4$, $CD=6$, $DB=8$ урттай байсан бол $ \left(10\cdot\dfrac{OC}{OD}\right)^2$-ын утгыг ол.

Хариу: 70

12. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $B$ оройгоос буусан өндрийн суурийг $D$, $C$ оройгоос буусан өндрийн суурийг $E$ гэе. $BD$, $EC$ хэрчмүүд $H$ цэгт огтлолцоно. $DE$ диаметртэй тойрог $AB$ талыг хоёр дахиа $F$ цэгт, $AC$ талыг хоёр дахиа $G$ цэгт огтолно. $FG$, $BD$ шулуунууд $K$ цэгт огтлолцоно. $BC=25$, $BD=20$, $BE=7$ байсан ба $DK$-г $DK=\dfrac{a}{b}$ ба ХИЕХ$(a,b)=1$ байхаар $a$, $b$ натурал тоонуудаар илэрхийлэв. $a+b$-ын утгыг ол.

Хариу: 33