1. Хэрвээ $0\[(a+b-ab)(a^b+b^a) > a+b\]
болохыг батал.

2. $n$ ба $k$ натурал тоонууд гэе. Анх $k$ ширхэг хайрцаг ба бүгд нэг хайрцагт байрласан $1$-ээс $n$ дугаартай $n$ ширхэг чулуу байжээ. Бат дараах тоглоомыг тоглов. Бат нэг удаагийн үйлдлээр ямар нэг хайрцаг сонгон аваад уг хайрцагт байгаа хамгийн бага $i$ дугаартай чулууг аль нэг хоосон хайрцагт эсвэл $i+1$ дугаартай чулуутай хайрцагт хийж болно. Хэрвээ зөвхөн $n$ дугаартай ганц чулууг агуулсан хайрцаг гарган авч чадвал Бат хожино. Энэ тоглоомонд Бат хожих боломжтой бүх $(n,k)$ хосуудыг ол.

3. $G$ нь хоёр туйлтай, хавтгай граф байг. Тэгвэл графын аль ч орой хоёр өөр талсад харгалзахгүй байхаар уг графын талс бүрд уг талсын аль нэг оройг харгалзуулж болно гэж батал.

4. Ядаж нэг $n$ натурал тооны хувьд
\[\left\{\dfrac{n}{202}\right\}+\left\{\dfrac{2n}{202}\right\}+\dots+\left\{\dfrac{kn}{202}\right\}=\dfrac{k}{2}\]
байдаг бүх $k < 202$ натурал тоонуудыг ол. Энд $\{x\}$ нь $x$-ийн бутархай хэсэг.

5. $ABC$ гурвалжны $BC$ талын дундач цэг $F$. $A$ цэгийг дайрсан $BC$ талыг $F$ цэгт огтлох шулуун $AB$ талыг $M$ цэгт, $AC$ талыг $N$ цэгт огтолно. $CM$ ба $BN$ цэгүүд $X$ цэгт огтлолцоно. $BMX$ ба $CNX$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргуудын нөгөө огтлолцлолын цэгийг $P$ гэе. $A$, $F$, $P$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

6. $n\ge 2$ натурал тоо. Энгийн төгсгөлөг $G$ графын ирмэг бүр хамгийн олондоо $n$ ширхэг циклд харъяалагддаг бол $G$ графын оройнуудыг $n+1$ өнгөөр зөв будаж болно гэж батал. Аль ч ирмэгийн хоёр орой ялгаатай өнгөөр будагдсан будалтыг зөв будалт гэдэг.