ММО-59, II даваа II шат, E (9-10) ангилал

1. Γ, ω тойргууд C, D цэгүүдэд огтлолцоно. Мөн ω тойргийн төв P цэг Γ тойрог дээр оршино. D цэгийг дайрсан шулуун Γ тойрогтой A цэгт, ω тойрогтой B цэгт огтлолцох ба D цэг AB хэрчим дотор оршиж байв. PB шулуун Γ тойрогтой P цэгээс ялгаатай E цэгт огтлолцоно. AE=AB гэж батал.

2. p<q<r байх анхны тоонууд өгөгдөв. Натурал n1 тоо бүрийн хувьд p+n, q+n, r+n нийлбэрүүдийн ядаж хоёр нь харилцан анхны байдаг бол p, q тоонуудыг ол.

3. Натурал n тоог m2 ширхэг ялгаатай a1>a2>>am натурал тоонуудын n=a1+a2++am нийлбэрт
1a1+1a2++1am=1
байхаар задалж болдог бол n+2m+1a1a2 болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.

4. n, m, k бүхэл тоонууд байг. mk+nn2+1 ба nk+mm2+1 тоонууд бүхэл
бол n2+1 ба m2+1 тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагч k21 тоог хуваахыг харуул.

5. DAB=ABC байх ABCD дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. ABC гурвалжныг багтаасан тойрог AD хэрчимтэй K цэгт, CD хэрчимтэй L цэгт огтлолцоно. AL хэрчим CK хэрчимтэй P цэгт огтлолцоно. Хэрэв ADB=PDC байсан бол CP=CL гэж батал.

6. Төгсгөлөг ширхэг натурал тооноос тогтох X олонлогийн бүх боломжит хоосон биш дэд AX олонлогийн хувьд ΣA=aAa нийлбэр ялгаатай утга авдаг, өөрөөр хэлбэл ABX бол ΣAΣB байдаг, гэе. X олонлогийн гишүүдийн урвуунуудын нийлбэр
xX1x<52
гэж харуул. Жишээлбэл, X=\Set1,2,5 үед 1, 2, 5, 1+2, 1+5, 2+5, 1+2+5 нийлбэрүүд бүгд ялгаатай ба 1/1+1/2+1/5=1.7<2.5 үнэн.