ММО-59, II даваа II шат, E (9-10) ангилал
1. ΓΓ, ωω тойргууд CC, DD цэгүүдэд огтлолцоно. Мөн ωω тойргийн төв PP цэг ΓΓ тойрог дээр оршино. DD цэгийг дайрсан шулуун ΓΓ тойрогтой AA цэгт, ωω тойрогтой BB цэгт огтлолцох ба DD цэг ABAB хэрчим дотор оршиж байв. PBPB шулуун ΓΓ тойрогтой PP цэгээс ялгаатай EE цэгт огтлолцоно. AE=ABAE=AB гэж батал.
2. p<q<rp<q<r байх анхны тоонууд өгөгдөв. Натурал n≥1n≥1 тоо бүрийн хувьд p+np+n, q+nq+n, r+nr+n нийлбэрүүдийн ядаж хоёр нь харилцан анхны байдаг бол pp, qq тоонуудыг ол.
3. Натурал nn тоог m≥2m≥2 ширхэг ялгаатай a1>a2>⋯>ama1>a2>⋯>am натурал тоонуудын n=a1+a2+⋯+amn=a1+a2+⋯+am нийлбэрт
1a1+1a2+⋯+1am=11a1+1a2+⋯+1am=1
байхаар задалж болдог бол n+2m+1≤a1a2n+2m+1≤a1a2 болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.
4. nn, mm, kk бүхэл тоонууд байг. mk+nn2+1mk+nn2+1 ба nk+mm2+1nk+mm2+1 тоонууд бүхэл
бол n2+1n2+1 ба m2+1m2+1 тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагч k2−1k2−1 тоог хуваахыг харуул.
5. ∠DAB=∠ABC∠DAB=∠ABC байх ABCDABCD дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. ABCABC гурвалжныг багтаасан тойрог ADAD хэрчимтэй KK цэгт, CDCD хэрчимтэй LL цэгт огтлолцоно. ALAL хэрчим CKCK хэрчимтэй PP цэгт огтлолцоно. Хэрэв ∠ADB=∠PDC∠ADB=∠PDC байсан бол CP=CLCP=CL гэж батал.
6. Төгсгөлөг ширхэг натурал тооноос тогтох XX олонлогийн бүх боломжит хоосон биш дэд A⊆XA⊆X олонлогийн хувьд ΣA=∑a∈AaΣA=∑a∈Aa нийлбэр ялгаатай утга авдаг, өөрөөр хэлбэл A≠B⊆XA≠B⊆X бол ΣA≠ΣBΣA≠ΣB байдаг, гэе. XX олонлогийн гишүүдийн урвуунуудын нийлбэр
∑x∈X1x<52∑x∈X1x<52
гэж харуул. Жишээлбэл, X=\Set1,2,5X=\Set1,2,5 үед 11, 22, 55, 1+21+2, 1+51+5, 2+52+5, 1+2+51+2+5 нийлбэрүүд бүгд ялгаатай ба 1/1+1/2+1/5=1.7<2.51/1+1/2+1/5=1.7<2.5 үнэн.