Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Натурал тоон гишүүдтэй арифметик прогрессын дэс дараалсан долоон гишүүний квадратуудын нийлбэр бүтэн квадрат байх боломжгүйг харуул.

2. Тал бүрийн урт нь натурал тооны бүтэн квадрат байдаг хурц өнцөгт, элдэв талт гурвалжны периметр хамгийн багадаа хэд байх вэ?

3. $0$, $1$, $2$, $3$ цифрүүдээр бичигдсэн $n \ge 4$ оронтой тооны $n-4$ ширхэг цифрийг $2023$ үлдэхээр дарж болдог бол туулай тоо гэе. $n \ge 4$ оронтой туулай тоо хэд байх вэ?

4. $a_{1}$, $a_{2}$, $\dots$, дарааллыг $a_{1} = 1$ ба $n \ge 1$ үед $a_{n+1} = \dfrac{2n+1}{2n+4} a_{n}$ гэж тодорхойлъё.

1. Дурын $n \ge 1$ хувьд $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1 - (2n+1)a_{n}$ гэж батал.
   


2. $b_{n} = a_{n}^{2} \times n(n+1)^{2}$ дараалал өснө гэж батал.
   


3. Дурын $n$ хувьд
   \begin{equation}
   \left(\dfrac{1}{n}\right)^{3/2} \le a_{n} < \left(\dfrac{2}{n}\right)^{3/2}
   \end{equation}
   гэж батал.
   

5. Хэсэг сурагчид байв. Дурын дөрвөн сурагч авахад үүсэх зургаан хос дотор заавал тэгш тооны найз байдаг байв. Сурагчдыг

1. дугуйлан бүрийн хувьд тус дугуйланд явдаг бүх сурагчид хоорондоо найз байдаг
   


2. ямар ч хоёр найз авахад хоёулаа явдаг дугуйлан яг нэг байдаг
   


3. сурагч бүр нэг эсвэл хоёр дугуйланд явдаг
   

байхаар хэдэн дугуйланд хамруулж чадахыг харуул.

6. Дурын натурал $m \ge 3$ тооны хувьд $(2^{m} + 1)!! \equiv 1 \pmod{2^{m+1}}$ гэж харуул. Энд сондгой $k$ тооны хувьд $k!! = k \times (k-2) \times \dots \times 1$.