4. Бодлого 4

Дүгнэх аргачлал:

1. $\{\gcd(\alpha,s)\mid s\in S, s\neq\alpha\}$ ядаж 2 элементтэй гэж харуулбал $1$ оноо.

2. $B=\{\beta\in S\mid \gcd(\alpha,\beta)=d\}$. $|B|$ төгсгөлгүй байх $B$ олдоно гэж харуулаад авч үзвэл $1$ оноо.

3.  $(\alpha,\gamma)\neq d$ $\gamma$-ийн хувьд $(\gamma;\beta_1)=(\gamma;\beta_2)$ байх $\beta_1,\beta_2\in B$ олсон бол $2$ оноо.

4. $\gamma$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\alpha$-аас аль нэг гурав нь нөхцөл хангана гэж баталбал $3$ оноо.

5. Бодлого 5

6. Бодлого 6

Дүгнэх аргачлал:

1. $n>100$ үед $a,b,c<\dfrac{n-1}{2}$ гэж харуулсан бол $1$ оноо.

2. $v_p(n!) < \sum_{s=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^s}=\dfrac{n}{p-1}$ томьёог баталсан эсвэл ашигласан бол $1$ оноо.

3. $n$ сондгой биш гэж харуулбал $1$ оноо.

4. $a+b, b+c, c+a$ гурван тоо нэгэн зэрэг 2-ийн зэрэг биш гэж харуулбал $2$ оноо.

5. $1,2,\dots,n$ тоонуудын дунд $p$-ийн давталт хамгийн олондоо 2 ширхэг байна гэж харуулбал $2$ оноо.

Бүтэн бодолт $7$ оноо.