Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-58, Улс, Багшийн ангилал

1. $4z^2(2z^2+1)=4xy-2x-y$ тэгшитгэлийн бүх натурал тоон шийдийг ол.

2. Өгөгдсөн $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ дарааллын гишүүд дээр дараах үйлдлүүдийг хийж болно. Аливаа $1\leqslant k\leqslant n-2$ дугаарын хувьд


  1. $a_{k}$, $a_{k+2}$ гишүүдийг $1$-ээр ихэсгээд, $a_{k+1}$ гишүүнийг $1$-ээр багасгаж, эсвэл

  2. $a_{k}$, $a_{k+2}$ гишүүдийг $1$-ээр багасгаад, $a_{k+1}$ гишүүнийг $1$-ээр ихэсгэж


болно. Анх $1$, $2$, $\dots$, $2022$ гэсэн дараалал өгөгдсөн бол дээрх үйлдлүүдийг давтан хийх замаар дарааллын бүх гишүүдийг тэнцүү болгож чадах уу?

3. Дараах чанартай хамгийн бага натурал $N$ тоог ол.


Дурын бүхэл коэффициенттой, таван зэргийн $P(x)$ олон гишүүнтийн хувьд $|P(x)| > \dfrac{1}{N}$ байх $0 \le x \le 1$ тоо олдоно.

4. $n \ge 1$ гэе. Ялгаатай $a_1$, $\dots$, $a_{2n+2}$ бүхэл тоонууд өгөгдөв. Хэрэв $|i - j| \leq n$ байх $i$, $j$ дугаар бүрийн хувьд $|a_i -a_j| \leq n$ байдаг бол $a_{2n+2}- a_1$ ялгавар $(2n+1)$-д хуваагдахыг харуул.

5. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ цэгийг дайруулан $BI$ хэрчимд перпендикуляр байхаар татсан шулуун $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $AB$ ба $BC$ бага нумуудтай харгалзан $X$ ба $Y$ цэгүүдэд огтлолцоно. $AI \parallel PY$ ба $CI \parallel XP$ байхаар $P$ цэгийг сонгоё. Хэрэв $XA$ ба $YC$ шулуунууд $Q$ цэгт огтлолцдог бол $I$, $P$, $Q$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

6. Дараах чанартай хамгийн бага эерэг бодит $0 < c < 1$ тоог ол.


$n \ge 3$ оройтой, гурвалжин агуулаагүй, орой бүрийн зэрэг нь $cn$ тооноос эрс их байдаг энгийн граф бүр хоёр туйлт байна.

Тайлбар: гогцоогүй, өөрөөр хэлбэл нэг оройгоос эхлээд тэр орой дээрээ дуусдаг ирмэггүй, ямар ч хоёр оройг нэгээс олон ирмэг холбодоггүй, чиглэлгүй графыг энгийн граф гэнэ. Оройгоос гарсан ирмэгийн тоог тус оройн зэрэг гэнэ. Аль ч хоёр нь ирмэгээр холбогдсон гурван оройтой графыг гурвалжин гэнэ. Ижил өнгөтэй оройнууд ирмэгээр холбогдоогүй байхаар оройнуудыг нь хоёр өнгөөр будаж болдог графыг хоёр туйлт гэнэ.