Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-58, Улс, Дунд ангилал

1. $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $F$ цэг авав. $F$ цэгийг дайруулан $AB$ талтай параллел шулуун татахад $BC$ талыг $D$ цэгт огтолно. Мөн $F$ цэгийг дайруулан $BC$ талтай параллел шулуун татахад $AB$ талыг $E$ цэгт огтолно. $EDF$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AC$ талыг шүргэж байв. $AB:BC=k$ бол $AF:FC=k^2$ гэж батал.

2. $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{a}{a+3}+\dfrac{a}{a+4}$ илэрхийлэл бүхэл тоо байх эерэг рационал $a$ тоо олдох уу?

3. Математикийн олимпиадад $66$ сурагч оролцов. Бие биеэ таньдаг хоёр сурагчийг танил гэе.

Сурагч бүр ядаж нэг танилтай ба сурагч бүрийн хувьд түүний танилуудын танилын тооны арифметик дундаж ба өөрийнх нь танилын тоо нийлээд $11$ байсан бол нэг танхимд танил хоёр сурагч ороогүй байхаар сурагчдыг хоёр танхимд хуваан суулгаж чадна гэж батал.

4. Тойргийг нэгж урттай $21$ ширхэг тэнцүү нумд хуваадаг $21$ цэг тойрог дээр байрлуулав. Аль ч хоёр цэгийн хоорондох нумын урт нь $3$ нэгж эсвэл $7$ нэгжтэй тэнцдэггүй байхаар $7$ цэгийг хэдэн янзаар сонгон авч болох вэ?

5. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $D$ цэгийг, $AC$ тал дээр $E$ цэгийг $BCED$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байхаар авав. $ADC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BE$ хэрчимтэй $F$ цэгт, $ABE$ гурвалжныг багтаасан тойрог $CD$ хэрчимтэй $G$ цэгт огтлолцоно. $BG$, $CF$ хэрчмүүд $S$ цэгт огтлолцох бол $\angle FAS=\angle GAS$ гэж батал.

6. $-1 \le a$, $b$, $c \le 1$ тоонуудын хувьд $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 2abc + 1 $ бол
\begin{equation}
\dfrac{3}{2 - abc} \le \dfrac{1}{2-a^{2}} + \dfrac{1}{2-b^{2}} + \dfrac{1}{2-c^{2}} \le 1 + \dfrac{2}{2-abc}
\end{equation}
гэж батал.