1. Шагай хаяхад морь, тэмээ. хонь, ямаа ижил магадлалтайгаар буудаг гэе. Тоглогч дөрвөн шагай хаяад юу бууснаас хамаарч дараах оноог авна.

Буулт	Оноо
Дөрвөн морь	100
Дөрвөн тэмээ	90
Гурван морь, нэг хонь	75
Гурван тэмээ, нэг ямаа	65
Нэг морь, гурван хонь	25
Нэг тэмээ, гурван ямаа	15
Дөрвөн бэрх	8
Дөрвөн хонь	4
Дөрвөн ямаа	4
Хоёр хонь, хоёр ямаа	2

Энд дөрвөн бэрх гэж морь, тэмээ, хонь, ямаа тус бүр нэг нэг буухыг хэлнэ. Дөрвөн шагайг дунджаар хэдэн удаа хаяхад оноонуудын нийлбэр 100 давах вэ?

2. $3$, $4$, $5$ урттай талуудтай гурвалжны $3$ урттай талын эсрэг өнцөг $36^{\circ}$-аас их, $38^{\circ}$-аас бага гэж батал.

3. Ямар нэг натурал тооны гурван зэрэгт хэлбэртэй бичигддэг тоог куб тоо гэе. Ямар натурал $n \ge 3$ тооны хувьд $n$ ширхэг куб тооны нийлбэр ахиад куб тоо болж чадах вэ?

4. $7$ радиустай том улаан бөмбөг, $3$ радиустай хоёр ижил ногоон бөмбөг, $2$ хүрэхгүй радиустай жижиг шар бөмбөгийг тэгш шалан дээр хос хосоороо шүргэлцдэг байхаар байрлуулж болдог бол шар бөмбөгийн радиусыг ол. Энд дөрвөн бөмбөг дөрвүүлээ шалыг шүргэнэ.

5. Дараах ногдвор бүхэл байх бүх натурал тоон $(n, a)$ хосыг ол.
\[ \frac{ a^{n+1} + 3^{n+1} +1 }{ a^n + 3^n +1 }\]

6. Дараах нөхцөлийг хангадаг сөрөг биш бүхэл тоон $(a_{n})_{n\ge 0}$ ба $(b_{n})_{n \ge 0}$ дарааллууд олдох уу?

1. $a_{0} = b_{0} = 0$ ба дурын $k \ge 1$ хувьд
   
   
   
   
   1. $a_{k}$ нь ямар ч $0 \le i \le k-1$ ба ямар ч $j \ge 0$ хувьд $a_{i} + b_{j}$ хэлбэртэй бичигддэггүй хамгийн бага натурал тоо,
      
      
   
   
   2. $b_{k}$ нь ямар ч $i \ge 0$ ба ямар ч $0 \le j \le k-1$ хувьд $a_{i} + b_{j}$ хэлбэртэй бичигддэггүй хамгийн бага натурал тоо.