Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-58, Ахлах, II даваа, F (11-12) ангилал

1. $a \ge 0$, $b \ge 0$ тоонуудын хувьд $x^{4} - ax^{3} + bx^{2} - ax + 1 = 0$ тэгшитгэл дөрвөн ялгаатай бодит шийдтэй бол $2a + b > 14$ гэж батал.

2. Хавтгайд бэхлэгдсэн, элдэв талт $n \ge 3$ өнцөгтийн оройнуудыг дараалсан гурван орой бүр гурван өөр өнгөөр будагдсан байхаар улаан, ногоон, цэнхэр, шар дөрвөн өнгөөр будах боломжийн тоог $A_{n}$ гэе. $A_{7} = A_{8}$ гэж батал.

3. $AB = AC$ байх адил хажуут $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гэж, $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $\omega$ гэж тэмдэглэе. $BI$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $P$ цэгт, $CI$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $Q$ цэгт огтлолцоно.

$\omega$ тойргийн $A$ цэгийг агуулаагүй $BC$ нум дээр $D$ цэгийг $D \ne B$, $D \ne C$ байхаар авав. $BI$ шулуун $AD$ хэрчимтэй $M$ цэгт, $DQ$ хэрчимтэй $X$ цэгт огтлолцдог гэе. Мөн $CI$ шулуун $AD$ хэрчимтэй $N$ цэгт, $DP$ хэрчимтэй $Y$ цэгт огтлолцдог гэе.

$BN$ ба $CM$ шулуунууд $XIY$ гурвалжныг багтаасан тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.

4. $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $D$ цэгийг, $AC$ тал дээр $E$ цэгийг, $AB$ тал дээр $F$ цэгийг $\angle BFD=\angle AFE$ ба $\angle AEF=\angle CED$ байхаар авав. $EF$ шулуун дээр $M$, $N$ цэгүүдийг $EN=FD$, $FM=ED$ ба $M$, $F$, $E$, $N$ цэгүүд энэ дарааллаар байрладаг байхаар авав. $DN$ хэрчмийн дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулуун $AB$ шулуунтай $P$ цэгт, $DM$ хэрчмийн дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулуун $AC$ шулуунтай $Q$ цэгт огтлолцдог бол $PQ\perp MN$ гэж батал.

5. Сондгой анхны тоо $p$ өгөгдөв.
Бүхэл $a$, $b$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
a^{p-1} + a^{p-2}b + a^{p-3}b^{2} + \dots + a^{2} b^{p-3} + a b^{p-2} + b^{p-1}
\end{equation}
нийлбэрийг $p^{2}$-д хуваахад гарах үлдэгдлийн авч болох утгуудыг ол.

6. $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ тоонуудын хувьд $xy + yz + zx = 1$ бол
\begin{equation}
(1+x)(1+y)^{2}(1+z)^{3}
\end{equation}
илэрхийллийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.