Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-58, Дунд 2, Бүс дүүрэг, E (9-10) ангилал

1. $n \ge 5$ натурал тоо өгөгдөв. $n$-ээс хэтрэхгүй ялгаатай $a$, $b$, $c$ натурал тоонуудын хувьд $a(b + 1)$, $b(c + 1)$ үржвэрүүд $n$-д хуваагддаг бол $(a + 1)c$ үржвэр $n$-д хуваагдахгүй гэж харуул.

2. Зүүн дээд булан нь цагаан өнгөтэй $12\times 12$ хэмжээтэй шатрын хөлгийн цагаан нүднүүд дээр $36$ ширхэг хүүг аль ч хүү нэг нүүдлээр өөр хүү идэж чадахгүй байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?


Нэг нүдэнд хамгийн олондоо нэг хүү байрлуулж болно. Хүү зурагт үзүүлснээр иднэ.

Бодолт 1.

Хариу: $C_{12}^{6}$.
АА-1-ийн бодолтийг хар.

3. $\angle A=90^\circ$ ба $AB=2AC$ байх $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $M$ цэг авав. $A$ цэгээс $BM$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $P$, $C$ цэгээс $BM$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $Q$ гэе. $4PQ+2QC=BP$ гэж батал.

Бодолт 1.


$CM$ цацрагийн үргэлжлэл дээр $\angle ANC=90^\circ$ байх $N$ цэг авбал \[AN=PQ,\quad CN=AP+CQ\] байна.
$\angle BAC=\angle BMC=90^\circ$ учир $B, A, M, C$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.
Иймд $\angle ABM=\angle ACM$ болох ба тэгш өнцгүүдийг тооцвол

$\triangle BAP\sim \triangle CAN$ болно. Төсөөгийн харьцаа бичвэл \[2=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BP}{CN}=\dfrac{AP}{AN}\] гарна.
Эндээс $AP=2AN$, \[BP=2CN=2AP+2CQ=4AN+2CQ=4PQ+2CQ\]
болж батлагдана.

Онооны схем

  1. $ABCQ$ тойрогт багтана 1 оноо,

  2. $\triangle PAQ \sim \triangle ABC$ 2 оноо,

  3. $\dfrac{AP}{PQ}=\dfrac{AB}{AC}=2$ гэсэн үр дүн, мөн үүнтэй эквивалент үр дүнд 1 оноо,

  4. Бүтэн бодолт 7 оноо

4. ${\underbrace{99 \dots 99}_{2997}}$ тоо ${998001}$-д хуваагдахыг харуулж, ногдворын эхний дөрвөн оронг ол.