Бүртгүүлэх Нэвтрэх

EGMO сонгон шалгаруулалт №1, I өдөр

1. Хавтгайд аль ч гурав нь ерөнхий цэггүй $2n$ ширхэг шулуун өгчээ. Хэрвээ шулуун бүр өөр яг нэг шулуунтай параллел бол эдгээр шулуунууд хавтгайг хэдэн хэсэгт хуваах вэ?

2. Тэгээс ялгаатай, харилцан анхны $a$ ба $b$ бүхэл тоонууд өгөгдөв. Хэрэв $a> b+2$ бол ямар ч эерэг бүхэл $n$ ба $m$ тоонуудын хувьд
\[
\frac{a^n + b^n}{a^m - b^m}
\]
илэрхийлэл бүхэл тоо гарахгүй гэдгийг харуул.

3. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагоналууд $S$ цэгт огтлолцоно. $\angle ASD$-ийн биссектрис шулуун $BC$-тэй $E$ цэгт, $AD$-тэй $F$ цэгт огтлолцоно. $\angle BME=\angle EMC$ ба $\angle AMF=\angle FMD$ байх $M$ цэгийг авав. Тэгвэл $\angle MBC=\angle MAD$
гэж батал.

Бодолт 1.

Онооны схем.

Бодлогод $AB\neq CD$ нөхцөл дутуу өгсөнөөс эсрэг жишээ байгуулагдсан тул дараах байдлаар оноо олгов.

1. Эсрэг жишээ байгуулсан буюу $AB=CD$ үед $\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ байх албагүй гэж харуулсан бол 7 оноо.

2. $AB\neq CD$ үед

а) $M$ цэг $ABCD$-ийн дотор орших үед $S\equiv M$ гэж гарна. Энэ тохиолдолд 2 оноо.

б) $M$ цэг $ABCD$-ийн гадна орших үед
$$\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BM}{MC}$$
$$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AS}{SD}=\dfrac{AB}{CD}$$
Эндээс
$$\triangle ABM\sim \triangle DCM\Rightarrow \angle AMD=\angle BMC$$
болох ба энэ нөхцөл болон дээрх харьцаанаас
$\triangle BMC\sim\triangle AMD$ болж $\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ гарна.