1. Үргэлж худлаа ярьдаг ерэн найман алим, үргэлж үнэнийг хэлдэг нэг гадил жимсийг нэг мөрний дагуу санамсаргүй байдлаар байрлуулсан байв. Эхний жимс нь ''Эхний дөчин жимсний нэг нь гадил жимс юм!'' гэж хэлэв. Гэтэл сүүлийн жимс нь ''Үгүй ээ, сүүлийн дөчин жимсний нэг нь гадил жимс юм!'' гэж хариулав. Яг дунд нь байсан жимс нь ''Би гадил жимсний нэг нь байна!'' гэж хашгирч байна. Гадил хэдэн ялгаатай байрлалд байж болох вэ?

Хариу: 21

2. Хэсэг цифрийг нь урдаас нь аваад хойно нь залгаж бичихэд буцаад өөрөө гардаг тоог гоё тоо гэе. 6 оронтой гоё тоо хэчнээн ширхэг байх вэ? (Хэсэг цифр гэдэгт нь 1-ээс 5 ширхэг цифр байж болно.)

Хариу: 981

3. 2020 тооны урд хамгийн цөөндөө хэдэн цифр залгаж 2021-д хуваагдах тоо үүсгэж болох вэ?

Хариу: 4

4. $\begin{cases}
x^n+sx=2021 \\ x^n+tx=2022
\end{cases}$ систем тэгшитгэл бодит шийдтэй байх $(s,t)$ бүхэл тоон хос хэд байх вэ? (Энд $n>1$ бүхэл тоо )

Хариу: 3

5. $a\leq100000$, $b\leq100000$ ба $\dfrac{a^3-b}{a^3+b}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+b^2}$ нөхцөлийг хангах $(a,b)$ натурал тоон хэдэн хос хэдэн ширхэг байгаа вэ?

Хариу: 10

6. $P(-10)=145$, $P(9)=164$ байх бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт бол $|P(0)|$-ийн хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 25

7. $AC=AB$, $AC:BC=3:4$ байх $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $BC$ нум дээр ($A$ оройг агуулаагүй нум) $P$ цэгийг $PB+PC=16$ байхаар авав. Тэгвэл $PA$ хэрчмийн уртыг ол.

Хариу: 12

8. $CE=CD=7$ байх $CED$ гурвалжны $ED$ талын дундаж цэг $P$ байв. $P$-г дайруулан шулуун татахад $CE$ шулуунтай $A$ цэгт, $CD$ шулуунтай $B$ цэгт огтлолцож байв. $A$ цэгээс $CD$ шулуун хүртлэх зайг $h_a$-аар, $B$ цэгээс $CE$ шулуун хүртлэх зайг $h_b$-ээр тэмдэглэе. Хэрэв $ABC$ гурвалжны талбай $35$ байсан бол $h_a+h_b$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 20